50 Lecciones de Matem´atica
Prof. Evidio Quintana Fern´andez
Lecciones para la preparaci´on
en concursos de matem´atica
y similares
La Habana
Cuba
i
Resumen
Este documento es una transcripci´on de las lecciones del profesor Evidio Quintana
Fern´andez para la preparaci´on de estudiantes de preuniversitario en concursos y similares
de matem´atica.
Esto es un trabajo en progreso, puede cambiar y tener errores. Todo el trabajo y las
colecciones aqu´ı presentes son de la autor´ıa del profesor Evidio.
Mas informaci´on en https://github.com/jjavierdguezas/evidio-problemas-matematica.
¡Las contribuciones son bienvenidas!
ii
´
Indice
50 Lecciones de Matem´atica 1
Lecci´on #1 - Conozcamos al tri´angulo rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lecci´on #2 - Rectas y Puntos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lecci´on #3 - Circunferencia y Cuadril´atero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lecci´on #4 - Otros Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Lecci´on #5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lecci´on #6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
50 Lecciones de Matem´atica
Lecci´on #1 - Conozcamos al tri´angulo rect´angulo
Cualquier estudiante de ense˜nanza media sabe que se trata de un tri´angulo que tiene
un ´angulo con amplitud 90
◦
. Sin embargo no muchos saben la cantidad de relaciones que
se generan en ese pol´ıgono. Dediquemos entonces un tiempo al estudio de este tri´angulo
tan “generoso”.
a
c
b
α
β
1) Teorema de Pit´agoras
c
2
= a
2
+ b
2
2) Razones Trigonom´etricas
sen α =
a
c
cos α =
b
c
tan α =
a
b
sen α = cos β
- Vea que basta conocer la longitud de dos lados o la amplitud de uno de los ´angulos
agudos y la longitud de uno de los tres lados para determinar el resto de los cinco elementos
del tri´angulo.
a
b
p
q
h
α
β
ω
σ
3) Grupo de Teoremas de Pit´agoras
3.1) h
2
= p · q
3.2) a
2
= c · p
b
2
= c · q
3.3) c
2
= a
2
+ b
2
- Es suficiente conocer la longitud de dos de los seis segmentos determinados, o uno de
ellos y uno de los cuatro ´angulos determinados para calcular el valor del resto de los diez
elementos
2
Demostraci´on de 3)
Sean 4
1
, 4
2
y 4
3
de lados (a, h, p), (a, b, c) y (b, h, q) tenemos:
4
1
∼ 4
2
:
a
c
=
h
b
=
p
a
=⇒ a
2
= c · p
4
2
∼ 4
3
:
b
c
=
h
a
=
q
b
=⇒ b
2
= c · q
3.2) Teorema de los catetos
4
1
∼ 4
3
:
a
b
=
h
q
=
p
h
=⇒ h
2
= p · q 3.1) Teorema de la altura
Sumando las dos ecuaciones obtenidas en 3.2:
a
2
+ b
2
= c · p + c · q
= c(p + q)
= c · c
= c
2
3.3) Teorema de Pit´agoras
Vea adem´as que el ´area del tri´angulo podemos expresarla como:
A =
ab
2
y A =
ch
2
=⇒
ab
c
= h
Vea tambi´en que σ = β y ω = α por ser ´angulos agudos con lados respectivamente
perpendiculares
4)
C B
A
M
Sea M punto medio de AB
=⇒ AM = MB = CM
Teorema de la mediana de la
hipotenusa
Demostraci´on
·-) Sea M H ⊥ CB en H =⇒ MH es la paralela media de AC
∴ MH es altura y mediana de BC en 4CM B
o sea, 4CMB es is´osceles de base CB, etc...
·-) Sea D un punto de la prolongaci´on de CM ; CM = MD =⇒ ACBD es paralelogramo-
rect´angulo y AM = M B = CM = MD por propiedades de un tri´angulo
·-) M es circuncentro del 4ABC =⇒ AM = MB = MC = radio de la circunferencia
de centro M que pasa por A, B y C (rec´ıproco del teorema de Tales)
5) En todo tri´angulo rect´angulo con un ´angulo agudo de 30
◦
tenemos:
3
i) El cateto opuesto al ´angulo de 30
◦
mide la longitud de la hipotenusa dividida por
dos (a = c ÷ 2)
ii) El cateto adyacente al ´angulo de 30
◦
mide
√
3 veces la longitud del cateto opuesto
al ´angulo de 30
◦
(b =
√
3a)
Demostraci´on
a
a
b
c
c
60
◦
60
◦
30
◦
30
◦
Reflejando el tri´angulo dado de lados (a, b, c)
sobre el cateto b obtengo un tri´angulo
equil´atero
=⇒ i) a =
c
2
ii) b =
√
3a (por Teo. de Pit´agoras)
nota: De aqu´ı se obtienen las razones trigo-
nom´etricas de los ´angulos 30
◦
y 60
◦
6) En todo tri´angulo rect´angulo e is´osceles tenemos:
La longitud de la hipotenusa es igual a
√
2 veces la longitud de los catetos (c =
√
2s)
Esto es resultado de aplicar teorema de Pit´agoras con a = b
nota: de aqu´ı se obtienen las razones trigonom´etricas del ´angulo de 45
◦
* 7) En todo tri´angulo rect´angulo, la suma de la longitud del inradio y el circunradio es
igual a la media aritm´etica de los catetos.
Demostraci´on
C B
A
P
Q
R O
x
r
r y
y
x
Sean P , Q, R puntos de tangencia del
inc´ırculo del 4ABC con los lados AB, BC,
CA, tenemos:
AR = AP = x
RC = CQ = r (inradio)
P B = QB = y
=⇒ a = CQ + QB = r + y
b = AR + RC = x + r
c = AP + P B = x + y = di´ametro del circunc´ırculo
=⇒ a + b = r + y + x + r = 2R + 2r
=⇒ r + R =
a + b
2
8) , 9). 10), ... pueden ser sugerencias de los lectores a este humilde trabajo.
4
Lecci´on #2 - Rectas y Puntos Notables
Presta mucha atenci´on a estas notas, de seguro aprender´as cosas muy novedosas que
servir´an para elevar tu cultura matem´atica.
i) En todo tri´angulo hay para cada lado una altura, una mediana, una mediatriz y
para cada ´angulo una bisectriz. cada una de estas rectas concurren en un punto llamado:
ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro (H, G, T, I)
·- alturas
A
B
C
H
Segmentos que “parten” de cada v´ertice y “caen” perpen-
dicularmente en los lados opuestos. Vemos que H es un
pinto interior del tri´angulo si este es acut´angulo, pero si es
un tri´angulo obtus´angulo entonces H es un punto exterior
y si el tri´angulo es rect´angulo entonces H coincide con el
v´ertice del ´angulo recto
·- medianas
A
B
C
G
Q
P
R
Segmentos que “parten” de cada v´ertice y “caen” en el
punto medio de cada lado. Vemos que G siempre va a ser
un punto interior del tri´angulo
* - AG = 2GP , BG = 2GQ, CG = 2GR
- P Q, QR y RP son las paralelas medias de AB, BC
y CA respectivamente
* - Los 4AGR, 4BGR, 4BGP , 4CGP , 4CGQ y
4AGQ tienen la misma ´area
·- mediatrices
A
B
C
T
Q
P
R
Rectas perpendiculares a cada lado que pasan por el punto
medio de cada lado. Vemos que T es un punto interior del
tri´angulo si este es acut´angulo, pero si es obtus´angulo en-
tonces T es un punto exterior y si el tri´angulo es rect´angulo
entonces T coincide con el punto medio de la hipotenusa
- T coincide con el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo
- GH = 2GT (recuerda que G es el baricentro y H el ortocentro)
- Los puntos H, G, T son alineados (Recta de Euler)
- Todo punto situado en la mediatriz de cualquier lado equidista de los extremos del
lado
5
·- bisectrices
A
B
C
I
Z
Y
X
k
k
n
n
m
m
Son rectas que dividen a cada ´angulo del tri´angulo en dos
´angulos de igual amplitud. vemos que I siempre va a ser
un punto interior del tri´angulo
* - I coincide con el centro de la circunferencia inscrita
en el tri´angulo
* - CX
2
= AC ·CB −AX ·XB, an´alogamente para AY
y BZ
* - AI : BI = AX : BX, BI : CI = BY : CY , CI :
AI = CZ : AZ
* - Todo punto situado en la bisetriz de cualquier ´angulo
equidista de los lados que determinan al ´angulo
2) Particularidades importantes
Vea que los cuatro putos y 4 rectas notables no tienen porqu´e coincidir pero en un
tri´angulo is´osceles, las 4 rectas notables referidas a las base coinciden y los cuatro pintos
notables ser´ıan puntos alineados sobre ellas.
Ahora el tri´angulo equil´atero “esconde” otras “cositas” que hacen de ´el un pol´ıgono
muy interesante, veamos...
- Para cada lado las cuatro rectas notables coinciden
- Los cuatro pntos notables coinciden tambi´en
Esto genera resultados a destacar, veamos...
Sean a → longitud de los lados
h → altura de los lados
S → ´area del tri´angulo
r → radio de la circunferencia inscrita
R → radio de la circunferencia circunscrita
∗ =⇒ h = R + r R = 2r h =
√
3
2
a S =
a
2
√
3
4
Vea que es suficiente conocer cualesquiera dos de estas variables para poder conocer el
valor de las otras 3.
Otras notas de inter´es
* - Sean b
a
, b
b
, b
c
→ longitud de las bisectrices de a, b y c y p → semiper´ımetro del
tri´angulo
=⇒ b
a
=
2
b + c
p
bc(p − a) y as´ı con b
b
y b
c
* - Sean m
a
, m
b
m
c
→ longitud de las medianas de los lados a, b y c
6
=⇒ m
a
=
1
2
p
2(b
2
+ c
2
) − a
2
y as´ı con m
b
y m
c
* - Sean h
a
, h
b
, h
c
→ longitud de las alturas de los ladosa, b y c
=⇒ h
a
=
2
a
p
ρ(ρ − a)(ρ − b)(ρ − c) y as´ı con h
b
y h
c
* - Sean K circuncentro, I incentro, R circunradio y r inradio
=⇒ (KI)
2
= R
2
− 2Rr (f´ormula de Euler)
* - Simedianas de un tri´angulo: En 4ABC: AM mediana, AD bisectriz =⇒ AX es
simediana de BC si AD biseca al ]XAM y se cumple:
XB
XC
=
AB
2
AC
2
El punto donde las tres simedianas se cortan se llama Punto de Lemoine
* - Los segmentos trazados desde cada v´ertice de un tri´angulo dado con el v´ertice m´as
alejado del tri´angulo equil´atero trazado exteriormente a dicho tri´angulo sobre el lado
opuesto al tri´angulo dado son iguales. Estos tres segmentos se cortan en un punto
llamado: Punto de Fermat
4, 5, 6, ... pueden ser sugerencias de los amigos de la matem´atica a estos temas
Las notas marcadas con * deben ser demostradas
7
Lecci´on #3 - Circunferencia y Cuadril´atero
Antes de proseguir quiero se˜nalar que esto no es un compendio sobre temas de nuestra
ense˜nanza, mi mayor anhelo es colaborar con la cultura matem´atica sobre todo con notas
poco publicadas y que sean muy interesantes...
1) Ya vimos que en todo tri´angulo puede inscribirse y circunscribirse una circunferencia. Sin
embargo este privilegio no lo poseen los cuadril´ateros. Para que una circunferencia pueda
circunscribirse en un cuadril´atero ABCD tiene que cumplirse que los ´angulos opuestos
sean suplementarios (]A + ]C = 180
◦
, ]B + ]D = 180
◦
), este cuadril´atero es llamado
Cuadril´atero C´ıclico (CC).
y para que pueda ser inscrito tiene que cumplir que AB +CD = BC +DA
(Teorema de Pitot).
Conocer esto es muy ventajoso, pues veamos...
A
B
C
D
E
P
x
x
∗
∗
Sea ABCD un CC tal que sus diagonales se cortan en P =⇒
i ·- ]ABD = ]ACD, ]DBC = ]DAC, etc
ii ·- ]DAB = ]DCE (siendo B, C y E alineados)
iii ·- AP · P C = DP · P B (potencia de un punto PP)
iv ·- AB ·CD+BC ·DA = AC ·BD (Teorema de Ptolomeo)
v ·- A
ABCD
=
p
ρ(ρ − a)(ρ − b)(ρ − c)(ρ − d)
(ρ semiper´ımetro)
y muchas otras relaciones, y como sabemos, la Geometr´ıa es el arte de relacionar elementos
de las figuras presentadas.
2) Potencia de un punto: Puede presentarse de varias formas, ver que en 1.iii 4AP B ∼
4CP D, esta ser´ıa la primera forma.
forma 2)
A
B
C
D
Si CD tangente en D
=⇒ DC
2
= AC · BC
Vea que 4ACD ∼ 4DBC
8
forma 3)
A
B
C
D
E
CE · DC = CA · BC
Vea que 4ACD ∼ 4BCE
3) Eje radical de dos circunferencias (ER)
Veamos las formas de presentarse
forma 1
Circunferencias Tangentes
Externas
O
1
O
2
ER
forma 2
Circunferencias
Exteriores
O
1
O
2
ER
forma 3
Circunferencias Tangentes
Interiores
O
1
O
2
ER
forma 4
Circunferencias
Secantes
O
1
O
2
A
B
ER
P
Q
T
9
En cada forma vemos que ER ⊥ O
1
O
2
, pero lo m´as destacado es que: Todo punto
situado en el ER tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Vea como
ejemplo en la forma 4 P Q
2
= P B · P A = P T
2
, siendo P Q y P T tangentes.
4) Centro radical de 3 circunferencias (CR).
O
1
O
2
O
3
CR
ER
ER
ER
Es el punto
donde concurren
los tres ER
5) Teorema de Ptolomeo
Como vimos en 1.iv, en todo CC el producto de las diagonales es igual a la suma del
producto de los lados opuestos.
A
B
C
D
Q
P
x
x
∗
∗
DB ·CA = AB · CD + BC · DA, demostraci´on
Sean Q ∈ DP ; ]DCQ = ]P CB, tenemos:
4DCQ ∼ 4ABC ⇒
DQ
AB
=
CQ
BC
=
DC
AC
1
○
4DAC ∼ 4BCQ ⇒
DA
QB
=
DC
QC
=
AC
BC
2
○
de
1
○
AB ·CD = DQ · AC
de
2
○
BC · DA = QB · AC
)
sumando obtenemos
lo deseado
nota: Una pincelada muy bonita relacionada con esto se presenta de la siguiente forma:
Si 4ABC equil´atero est´a inscrito en una circunferencia y D ∈
_
AC =⇒ AD + DC = BD
(Teorema de Pompello)
6, 7, 8 ... pueden ser sugerencias de nuestros amigos.
10
Lecci´on #4 - Otros Teoremas
Estas notas van dirigidas mayormente a estudiantes de Alto Rendimiento que se prepa-
ran con esmero para enfrentar las diferentes competencias convocadas por las matem´aticas.
1 ·- En todo 4 se cumple que: a + b > c, b + c > a, c + a > b −→ Teorema de la
desigualdad triangular.
2·- En todo 4 se cumple que: el segmento que une los puntos medios de dos de sus
lados es paralelo al tercero y mide su mitad −→ Teorema de la paralela media de un 4.
3·- Si dos bisectrices de un 4 tienen igual longitud =⇒ el 4 es is´osceles −→ Teorema
de Steiner
4·- La suma de las distancias desde un punto interior de un 4 equil´atero a los lados
del 4 es = a la longitud de su altura −→ Teorema de Viviani
5·- Si sobre los lados AB y AC de un 4ABC se construyen, por fuera, los 4 equil´ateros
ABC
0
y CAB
0
=⇒ BB
0
= CC
0
6·- Si G es el baricentro de un 4ABC y por G se traza una recta que corte a los 3
lados =⇒ AX + BZ = CY , siendo AX, BZ y CY perpendiculares desde A, B, C a la
recta.
7·- Las proyecciones de un punto de una circunferencia sobre los lados de un 4 inscrito
en dicha circunferencia determinan una recta −→ Recta de Simpson.
8·- Circunferencia de los 9 puntos −→ Es la que pasa por los puntos medios de cada
lado, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los v´ertices al
ortocentro de un 4. El centro de esta circunferencia es el punto medio desde el ortocentro
al centro de la circunferencia circunscrita.
9·- Tri´angulo pedal −→ Es el 4 determinado por los pies de las alturas de un 4. El
ortocentro del 4 coincide con el incentro del 4 pedal.
10·- Teorema de Stewart: Sea AD una ceviana cualquiera...
B
C
A
D
AB
2
·DC +AC
2
·BD = AD
2
·BC +BD ·DC ·BC
Para su demostraci´on, trace la altura desde A y
aplique reiteradas veces el teorema de Pit´agoras
11
11·- Teorema de la bisectriz interior y exterior de un 4
A
C
B
D
∗
∗
AB
BC
=
AD
DC
A
B
C D
∗
∗
12·- Teorema de Ceva y Menelao
A
B
C
Q
P
R
AR
RB
·
BP
P C
·
CQ
QA
= 1
A
B
C
Q
P
R
13 ·- Teorema de Pascal: En todo hex´agono inscriptible sin lados opuestos paralelos,
las intersecciones de los lados opuestos determinan 3 puntos alineados
14·- Desigualdad de Euler: R ≥ 2r con igualdad si el 4 es equil´atero. R → circunradio,
r → inradio
15·- C´alculo de ´areas:
- 4 : A =
b · h
2
=
a · b sen γ
2
= ρr =
abc
4R
=
p
ρ(ρ − a)(ρ − b)(ρ − c) (Her´on)
a, b, c lados del 4, h → altura del lado b
γ → ´angulo opuesto al lado c
ρ → semiper´ımetro del 4
- Cuadril´atero: A =
d
1
· d
2
2
sen σ
d
1
, d
2
→ diagonales, σ → ] formado por las diagonales
16·- En todo paralelogramo la suma de los cuadrados de sus lados multiplicados por
dos es = a la suma de los cuadrados de sus diagonales.
17·- Teorema de Varignon: Al unir los 4 puntos medios de cada lado de un cuadril´atero
se obtiene un paralelogramo.
12
Algunos lemas necesarios
18 ·- La distancia del circuncentro a uno de los lados de un 4 tiene la mitad de la
longitud del segmento que une al ortocentro del 4 con el v´ertice opuesto al lado.
19·- Si AB ⊥ CD en N =⇒ AC
2
= AD
2
= BC
2
= BD
2
20·- Si AA
1
⊥ BB
1
=⇒ a
2
+ b
2
= 5c
2
, con AA
1
mediana de a y BB
1
mediana de b en
un 4ABC (Esto se prueba aplicando 19)
21 ·- Lema de Rav´ı: En 4ABC, I es el incentro, P , Q, R puntos de tangencia del
inc´ırculo con los lados del 4 =⇒
B
C
A
P
Q
R
I
y
y
m
m
x
x
AR = AQ = x, BR = BP = y, CP = CQ = m
∴ a = y + m, b = m + x, c = x + y
=⇒ m =
1
2
(a + b −c), y =
1
2
(c + b −b), x =
b + c − a
2
22·-
T
A
B
ω
Γ
E
F
A
1
B
1
Si ω y Γ son dos circunferencias tangentes in-
ternas en T ; A y B son puntos de Γ,
A
1
= T A
T
ω y B
1
= T B
T
Γ =⇒
T A
T B
=
AE
BF
siendo AE y BF tangentes a ω
- Vea que A
1
B
1
k AB
y por potencia de un punto
AE
2
= AA
1
· AT
BF
2
= BB
1
· BT , etc ...
13
23·-
A
B C
D
E
F
X
Y
Z
T
σ
σ
a
Si D, E, F puntos de tangencia del
inc´ırculo de centro σ en 4ABC. Si DT
es di´ametro; recta
−→
AT corta BC en
X =⇒ BD = CX
Demostraci´on:
2BD = BC + AB − AC por 21)
= BF + BZ + XD
= F Z + XD = EY + XD
= EC + CY + XD = DC + XC + XD
= 2CX
Z y Y puntos de tangencia del exc´ırculo
de A con lados
−−→
AB y
−→
AC
24, 25, 26 ... pueden ser sugerencias de los amigos de la matem´atica.
14
Lecci´on #5
Comenzamos con la entrega de notas relacionadas con la Teor´ıa de N´umeros (TN) y el
´alebra. Aqu´ı va a haber para todos los gustos, desde notas trilladas en nuestra ense˜nanza
media hasta notas necesarias para alumnos de alto rendimiento.
1·- Un # cualquiera puede expresarse en el sistema decimal como suma de potencias
de base 10. Por ejemplo: abc = 100a + 10b + c, abcd = 1000a + 100b + 10c + d
2·- Un # lo llamamos Cuadrado Perfecto cuando su ra´ız cuadrada es un n´umero entero
(0, 1, 4, 9, 16, ..., n
2
). Vea que la diferencia de dos (CP) consecutivos es igual a la suma de
las raices cuadradas de ambos # ejemplo: 49 − 36 = 13 = 7 + 6
3·- M´ultiplos y Divisores de un #. Ejemplo: M´ultiplos de 6: 0, 6, 12, 18, ... Divisores de
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 24.
4 ·- N´umeros Primos: Son los que poseen 2 divisores (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...). N´umeros
Primos entre s´ı: Son aquellos que solo tienen al uno como divisor com´un. Ejemplo: 3 y 10,
11 y 17, 4 y 9, 5, 8 y 21 ...
5·- M´aximo Com´un Divisor (mcd): De todos los divisores comunes de dos o varios #,
el mayor es el mcd. Ejemplo: mcd(24, 32) = 8.
M´ınimo Com´un M´ultiplo (mcm): De todos los m´ultiplos comunes de dos o varios #, el
menor es el mcm. Ejemplo: mcm(8, 10) = 40
¿C´omo determinar el (mcd) y el (mcm) entre varios n´umeros?
Ejemplo: Sean A = 30600, B = 4340, C = 2674200
o sea A = 2
3
· 5
2
· 7 · 19, B = 2
2
· 5 · 7 · 31, C = 2
4
· 5
3
· 19
2
· 37
=⇒ mcd(A, B, C) = 2
2
· 5 = 20 (Vea que se toman solo las bases comunes de las
potencias elevadas al menor exponente)
mcd(B, C) = 2
2
· 5 = 20
mcd(A, C) = 2
3
· 5
2
· 19 = 3800
mcm(A, B, C) = 2
4
· 5
3
· 7 · 19
2
· 31 · 37 (Vean que se toman todas las bases de las
potencias y entre las comunes la de mayor exponente)
mcm(A, B) = 2
3
· 5
2
· 7 · 19 · 31
6·- Reglas de divisibilidad: Un # es divisible por ...
2− si su ´ultima cifra es par o es = 0
5− si su ´ultima cifra es 0 o 5
10− si su ´ultima cifra es = 0
3− si al sumar todas sus cifras se obtiene un m´ultiplo de 3
9− si al sumar todas sus cifras se obtiene un m´ultiplo de 9
4− si las dos ´ultimas cifras del # conforman un m´ultiplo de 4
15
8− si las tres ´ultimas cifras del # conforman un m´ultiplo de 8
11− cuando al restar los dos resultados de sumar las cifras de orden par y las de
orden impar, se obtiene un m´ultiplo de 11, veamos...
abcde S
1
= b + d S
2
= a + c + d |S
1
− S
2
| = 11k
6− cuando es divisible por 2 y 3 a la misma vez
12− cuando es divisible por 3 y 4 a la misma vez
15− cuando es divisible por 3 y 5 a la misma vez
36− cuando es divisible por 4 y 9 a la misma vez
Vea que 2 y 3, 3 y 4, 3 y 5, 4 y 9 son # primos entre s´ı
Ejemplo: 1536 es divisible por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ..., 1536
no es divisible por: 5, 10, 9, 11, 36, ...
7− cuando separamos su ´ultima cifra y multiplic´andola por 2, dicho resultado se
le resta al # que result´o de suprimir la ´ultima cifra al # original, obteniendo un
m´ultiplo de 7
Ejemplo: 51492 : 2 ·2 = 4, 5149 −4 = 5145, 5 ·2 = 10, 514 −10 = 504, 4 ·2 = 8
50 − 8 = 42 =⇒ 51492 es m´ultiplo de 7
Ahora existe una regla general que nos permite obtener la regla de divisibilidad de
cualquier # primo. En cualquier caso debemos separar la ´ultima cifra del # y multiplicarlo
por un #n n y luego realizar el mismo algoritmo que la regla del 7. El problema es ver
qui´en es n.
Debemos buscar qu´e d´ıgitos multiplicados por el # al cual le estamos investigando la
regla de divisibilidad , da como resultado un # cuya ´ultima cifra es = 1. Del resultado
de este producto nos interesa solo las cifras que queden a la izquierda del 1, y este ser´a el
valor de n.
Ejemplo Regla del 97: 97 · 3 = 291 =⇒ n = 29
Sea 12804: 4 · 29 = 116, 1280 − 116 = 1164, 4 · 29 = 116, 116 − 116 = 0
=⇒ 12804 es divisible por 97
− · − · −
7·- Divisibilidad: El n´umero natural n es un divisor del n´umero natural m si existe x ∈ N
tal que m = nx y se escribe n | m o m
.
.
. n. Se lee n divide a m o m es m´ultiplo de n
- Para todo n ∈ Z
+
; 1 | n y n | n
- Si a | b y a | c =⇒ a | b ± c
- Si a | b =⇒ a | bc ; ∀c ∈ Z
- Si a | b y b | c =⇒ a | c
- Si a | b y a | c =⇒ a | (bx + cy) ∀x, y ∈ Z
16
- Si a | b y b | a =⇒ a = ±b
- Si a | b, a > 0 , b > 0 =⇒ b ≥ a
- Dado un polinomio P = p
α
1
· p
α
2
· p
α
3
· · · ·p
α
n
decimos que la cantidad de
divisores D de P es D = (α
1
+ 1)(α
2
+ 1)(α
3
+ 1) · · · ·(α
n
+ 1)
- Sea p primo tal que p | ab =⇒ p | a o p | b
- Todo # primo mayor que 3 puede expresarse como 4n±1; 6k ±1 con n, k ∈ N
∗
8·- mcd y mcm. Conveniemos que (a, b) = mcd(a, b) y [a, b] = mcm(a, b)
- Si a | b y a | c =⇒ a | (b, c)
- (ma, mb) = m(a, b) ∀m ∈ Z
+
, a, b ∈ N
- (a, b) = (a ± b, a) = (b, b ± a)
- Si (m, n) = d =⇒ m = ad, n = bd; a, b ∈ Z, (a, b) = 1
- (a, b) =
ab
[a, b]
y [a, b, c] =
(a, b, c) · abc
(a, b)(b, c)(c, a)
9·- Congruencia: Sean a, b ∈ Z, m ∈ N
∗
=⇒ “a” es congruente con “b” m´odulo “m”
(a ≡ b (mod m)) si a y b dejan el mismo resto al dividirlos por “m”
- a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a − b es divisible por m
- Si a, b, c, d, k ∈ N
∗
, n ∈ N y a ≡ b, c ≡ d (mod m) =⇒
· a + c ≡ b + d, a − c ≡ b − d, ac ≡ bd, ka ≡ kb (mod m)
· a
n
≡ b
n
(mod m)
· a : k ≡ b : k (mod m) si (k, m) = 1 y a = kc y b = kd
- a ≡ a (mod m)
- Si a ≡ b =⇒ b ≡ a (mod m)
- Si a ≡ b y b ≡ c =⇒ a ≡ c (mod m)
- Si a ≡ b (mod m) =⇒ (a, m) ≡ (b, m) (mod m)
- Si ax ≡ ay (mod m) y (a, m) = 1 =⇒ x ≡ y (mod m)
9·- Teorema de Fermat: Sea p primo y n ∈ N =⇒ n
p
≡ n (mod p)
Peque˜no teorema de Fermat:
Sea p primo, a ∈ Z
+
; p - a =⇒ a
p−1
≡ 1 (mod p)
17
Teorema de Euler: Sean a, m ∈ N; (a, m) = 1 =⇒ a
φ(m)
≡ 1 (mod m) donde
φ(m) es el indicador y nos da la cantidad de # primos con m, no mayores que ´el tal que
φ(p) = p − 1 siendo p primo.
11, 12, 13, ..., pueden ser sugerencias de los amigos lectores.
18
Lecci´on #6
El ´algebra es una de las disciplinas insigneas dentro del estudio de las matem´aticas.
En estas notas tenemos en cuenta el trabajo con polinomios, ecuaciones, desigualdades y
funciones entre tantas l´ıneas que contempla este tema.
1·- Productos Notables:
A los m´as conocidos incorporamos estos de gran aplicaci´on
- (a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
±
b
3
- (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3a
2
b + 3a
2
c + 3ab
2
+ 3b
2
c + 3ac
2
+ 3bc
2
+ 6abc
- (a + b)(b + c)(c + a) = a
2
b + a
2
c + ab
2
+ b
2
c + ac
2
+ bc
2
+ 2abc
2·- Factorizaci´on: Al factor com´un, diferencia de cuadrados y trinomio agregamos otras
formas...
- Factor com´un por agrupamiento, ejemplo:
ab + ac + mb + mc = a(b + c) + m(b + c) = (b + c)(a + b)
- Suma y Diferencia de Cubos
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
∓ ab + b
2
)
- Otras sumas
ejemplo 1) a
2
b + a
2
c + ab
2
+ b
2
c + ac
2
+ bc
2
+ 2abc
= a
2
b + ab
2
+ a
2
c + abc + abc + b
2
c + ac
2
+ bc
2
= ab(a + b) + ac(a + b) + bc(a + b) + c
2
(a + b)
= (a + b)(ab + ac + bc + c
2
)
= (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= (a + b)(b + c)(a + c)
ejemplo 2) a
3
+ b
3
+ c
3
− 3abc
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
− ab − bc − ca) ¿por qu´e?
ejemplo 3) a
4
+ 4
= a
4
+ 4a
2
+ 4 − 4a
2
= (a
2
+ 2)
2
− 4a
2
= (a
2
+ 2a + 2)(a
2
− 2a + 2)
3·- Polinomios
- Teorema del resto: Al dividir un polinomio de grado n por un binomio de la forma
(x − a) =⇒ P (x) = (x − a)Q(x) + R, donde R es un # real
Si R = 0 =⇒ x −a | P (x) y “a” es un divisor del t´ermino independiente de P (x)
19
- Teorema de Bezout: El resto R en la nota anterior es igual al valor de P (x) para
x = a, o sea R = P (a). Ver regla de Ruffini
- P (x) = x
n
− a
n
siempre es divisible por (x − a), n ∈ N
- P (x) = x
n
− a
n
es divisible por (x + a), si n es par
- P (x) = x
n
+ a
n
es divisible por (x + a), si n es impar
- Un # x
0
es la ra´ız de P (x) ⇐⇒ x − x
0
| P (x)
- Teorema de Vieta
Sea P (x) = x
n
+ a
1
x
n−1
+ a
2
x
n−2
+ ... + a
n−1
x + a
n
con ra´ıces x
1
, x
2
, ..., x
n
cumple con:
x
1
+ x
2
+ ... + x
n−1
+ x
n
= −a
1
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ ... + x
n−1
x
n
= a
2
x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
4
+ ... + x
n−2
x
n−1
x
n
= −a
3
·
·
·
x
1
x
2
x
3
· · · x
n
= −a
n
(si n es impar)
= a
n
(si n es par)
En particular P (x) = x
2
+ px + q = (x − x
1
)(x − x
2
)
x
1
+ x
2
= −p y x
1
x
2
= q
y en ax
2
+ bx + c = 0 la ecuaci´on tiene 2 ra´ıces reales si D > 0
no tiene ra´ıces reales si D < 0
tiene una sola ra´ız si D = 0
D = b
2
− 4ac y x
1,2
=
−b ±
√
D
2a
3·- Desigualdades. Si a, b, c ∈ R
- Si a < b =⇒ a ± c < b ± c
- Si 0 < a < b =⇒ a
n
< b
n
- a < b < 0 =⇒ a
n
< b
n
⇐⇒ n es impar
- si a < b y c > 0 =⇒ ac < bc
- si a < b y c < 0 =⇒ ac > bc
- a
2
≥ 0
- Si a, b tienen suma constante =⇒ ab es m´aximo si a = b
− · − · −
- | x | ≥ 0 con = ⇐⇒ x = 0
20
- | x | ≥ x con = ⇐⇒ x ≥ 0
- | x | = | −x |
- | xy | = | x || y |
- | x | ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
- | x | ≥ a ⇐⇒ x ≥ a o x ≤ −a
- | x
2
| = | x |
2
= x
2
- | a + b | ≤ | a | + | b | con = ⇐⇒ ab = 0
- | a − b | ≥ | a | − | b | con = ⇐⇒ ab = 0
4·- Desigualdades Notables
- Relaci´on entre las medias: R ≥ A ≥ g ≥ H, o sea,
r
a
2
1
+ a
2
1
+ ...a
2
n
n
≥
n
P
i=1
a
i
n
≥
n
s
n
Q
i=1
a
i
≥
n
n
P
i=i
1
a
i
Ra´ız cuadrada de la ≥ Media ≥ Media ≥ Media
media aritm´etica aritm´etica geom´etrica arm´onica
de los a
i
siendo a
1
, a
2
...a
n
> 0
Con = ⇐⇒ a
1
= a
2
= ... = a
n
En particular
para a, b, c > 0:
r
a
2
+ b
2
+ c
2
3
≥
a + b + c
3
≥
3
√
abc ≥
3
1
a
+
1
b
+
1
c
- Cauchy Schwartz
(a
2
1
+ a
2
2
+ ... + a
2
n
)(b
2
1
+ b
2
2
+ ... + b
2
n
) ≥ (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a
n
b
n
)
2
siendo a
1
, a
2
, ..., a
n
, b
1
, b
2
..., b
n
∈ R
Con = ⇐⇒
a
1
b
1
=
a
2
b
2
= ... =
a
n
b
n
Adem´as se cumple:
a
2
1
x
1
+
a
2
2
x
2
+ ... +
a
2
n
x
n
≥
(a
1
+ a
2
+ ... + a
n
)
2
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
siendo a
1
, a
2
, ...a
n
∈ R y x
1
, x
2
, ..., x
n
≥ 0
Esta forma es muy “atractiva” y se conoce como Desigualdad de Arthur Engels
- Reacomodo
n
P
i=1
a
i
b
i
≥
n
P
i=1
a
i
b
γ
i
≥
n
P
i=1
a
i
b
n+1−i
21
con a
i
≥ a
2
≥ ... ≥ a
n
, a
i
∈ R
b
i
≥ b
2
≥ ... ≥ b
n
, b
i
∈ R
γ = {1, 2, ...n} cualquier permutaci´ın de a
i
,b
i
- Shebychev
·- Si a
1
≥ a
2
≥ ... ≥ a
n
y b
1
≥ b
2
≥ ... ≥ b
n
∈ R
=⇒
n
P
i=1
a
i
n
P
i=1
b
i
≤ n
n
P
i=1
a
i
b
i
·- Si a
1
≥ a
2
≥ ... ≥ a
n
y b
1
≤ b
2
≤ ... ≤ b
n
∈ R
=⇒
n
P
i=1
a
i
n
P
i=1
b
i
≥ n
n
P
i=1
a
i
b
i
Con = si uno de los a
i
o b
i
es constante
* Estas 2 desigualdades son tambi´en muy “atractivas”, es posible que vistas as´ı no se
entiendan bien, pero en la Lecci´on #7 las veremos. Igualmente existen otras desigual-
dades notables que en otro momento notificaremos. Por ahora estas que mostramos
resultan una herramienta poderosa para resolver problemas de desigualdades.
Continuamos pr´oximamente.
